Question

cho tam giác ABC có ma²+mb²+mc²=3\(\sqrt{3}Sabc\) chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Answer 1

Chà bạn ghi đề sai làm mãi không được

Đề đúng là: \(m_a^2+m_b^2+m_c^2=3\sqrt{3}S\)

Thay công thức trung tuyến vào ta được:

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}S\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=4\sqrt{3}S\)

Ta có:

\(VP=4\sqrt{3}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

\(VP\le4\sqrt{3}.\sqrt{p\left(\frac{p-a+p-b+p-c}{3}\right)^3}=4\sqrt{3}\sqrt{p\left(\frac{3p-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3}=\frac{4}{3}p^2\)

\(VT\le\frac{4}{3}\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\le a^2+b^2+c^2=VT\)

Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) hay tam giác ABC đều