Đặt \(\overrightarrow{BF}=x\overrightarrow{BG}=x\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\right)=x.\overrightarrow{BC}+\frac{2x}{3}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\)
\(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CB}+x.\overrightarrow{BC}+\frac{2x}{3}\overrightarrow{CA}=\left(1-x\right)\overrightarrow{CB}+\frac{2x}{3}\overrightarrow{CA}\)
Do C;H;F thẳng hàng nên: \(1-x=\frac{2x}{3}\Rightarrow x=\frac{3}{5}\Rightarrow\overrightarrow{BF}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BG}\)
Giả sử I là điểm trên BC sao cho I;A;F thẳng hàng với \(\overrightarrow{CI}=y.\overrightarrow{CB}\)
\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AC}-\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{3}{5}\left(\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AC}+y.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}-y.\overrightarrow{BC}\)
A;I;F thẳng hàng khi và chỉ khi: \(-y=-\frac{2}{3}\Rightarrow y=\frac{2}{3}\)
Vậy I là điểm nằm trên BC sao cho \(\overrightarrow{CI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\)
