Cho tam giác ABC có góc B và góc C là góc nhọn . Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = AB . Trên tia đối của tia AC lấy điểm Q sao cho AQ = AC . CMR :
a ) PQ = CP
b) Ax là tia bất kỳ nằm giữa 2 tia AB và AC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax. CMR . BH + CK < BC hoặc BH+ CK = BC. Xác định vị trí của Ax để tổng BH + CK có gia trị lớn nhất
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BQ và CP . CM : M ,N,A thẳng hàng
P/s chỉ cần câu c thôi cũng được
c) Ta có : \(MQ=\dfrac{1}{2}BQ\) ( M là trung điểm của BQ)
\(NC=\dfrac{1}{2}PC\) ( N là trung điểm của PC )
Mặt khác \(BQ=CP\) ( câu a )
\(\Rightarrow MQ=NC\)
Ta lại có : \(\Delta QAB=\Delta CAP\) ( câu a )
\(\Rightarrow\widehat{Q}=\widehat{C_2}\) ( hai góc tương ứng )
Xét \(\Delta QAM\) và \(\Delta NAC\) có :
\(AQ=AC\left(gt\right)\)
\(MQ=NC\) (cmt )
\(\widehat{Q}=\widehat{C_2}\) (cmt )
Do đó : \(\Delta AQM=\Delta ACN\) \(\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) ( hai góc tương ứng )
Ta thấy rằng : \(\widehat{QAN}+\widehat{A_2}=180^o\) ( hai góc kề bù )
hay \(\widehat{QAN}+\widehat{A_1}=180^o\) ( \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\))
\(\Rightarrow A,M,N\) thẳng hàng
