Cho tam giác ABC có góc B bé hơn 90 ddoooj và góc B bằng 2 lần Góc C . Kẻ đường cao AH . Trên tia đối của tia Ba lấy điểm E sao cho BE = BH . Đường thẳng He cắt Ac tại D . Chứng minh :
a) góc BEH = Góc ACB
b) DH = DC = DA
c)Lấy điểm B' sao cho H là trung điểm của BB' . Chứng minh tam giác AB'c cân
d) Chứng mih AE = HC
a)Ta có:
EB=HB⇒△EBH cân tại B
⇒\(\widehat{E}=\frac{180^0-\widehat{EBH}}{2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\widehat{C}\left(đpcm\right)\)
b) Ta có:
\(\widehat{BHE}=\widehat{CHD}\)(đối đỉnh)
\(\Rightarrow\widehat{E}=\widehat{CHD}\) mà \(\widehat{E}=\widehat{C}\)(câu a)
\(\Rightarrow\widehat{CHD}=\widehat{C}\Rightarrow\)△HDC cân tại D⇒DH=DC
Lại có:
\(\widehat{AHD}+\widehat{DHC}=90^0;\widehat{DHC}=\widehat{DCH}\)(△HDC cân tại D)
\(\Rightarrow\widehat{AHD}+\widehat{DCH}=90^0\left(1\right)\)
mà \(\widehat{ACH}+\widehat{CAH}=90^0\)hay \(\widehat{DCH}+\widehat{CAH}=90^0\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{CAH}\) hay \(\widehat{AHD}=\widehat{DAH}\)
⇒△ADH cân tại D⇒DA=DH
Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}DH=DC\\DA=DH\end{matrix}\right.\Rightarrow DH=DC=DA\left(đpcm\right)\)
c)Xét △ABH và △AB'H có:
AH chung
\(\widehat{AHB}=\widehat{AHB'}\left(=90^0\right)\)
HB=HB'(gt)
⇒△ABH=△AB'H (cgc)
⇒\(\widehat{HBA}=\widehat{HB'A}\)=\(2\widehat{C}\)
Ta lại có:
\(\widehat{HB'A}=\widehat{C}+\widehat{B'AC}\Rightarrow2\widehat{C}=\widehat{C}+\widehat{B'AC}\Rightarrow\widehat{B'AC}=\widehat{C}\)
⇒△AB'C cân tại B' (đpcm)
d)Từ △AB'C cân tại B' (câu c)
⇒B'A=B'C (3)
△ABH=△AB'H (câu b)
⇒AB=AB' (4)
Từ (3) và (4) ⇒ AB=B'C
Ta có: BH=B'H; BH=BE ⇒B'H=BE
AB=B'C; BE=B'H ⇒AB+BE=B'C+B'H
⇒AE=CH (đpcm)
