Question

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng \(\widehat{B}=60^o,\widehat{C}=80^o\).

a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.

Answer 1

a) Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(BE \bot AC,CF \bot AB\). Do đó, tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E.

Vì tam giác BFC vuông tại F nên ba điểm B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vì tam giác BEC vuông tại E nên ba điểm B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên

+ \(\widehat {FBC} + \widehat {FEC} = {180^o}\), hay \(\widehat {FEC} = {180^o} - \widehat {FBC} = {180^o} - {60^o} = {120^o}\).

+ \(\widehat {ECB} + \widehat {BFE} = {180^o}\), hay \(\widehat {BFE} = {180^o} - \widehat {ECB} = {180^o} - {80^o} = {100^o}\).