Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và đường cao BD, CE. Vẽ BF vuông góc với ED, CK vuông góc với ED (F, D thuộc ED). Chứng minh EF=DK
Help me<3

Answer 1

Lấy trung điểm M của cạnh BC. Gọi H là hình chiếu của M lên DE.

Xét \(\Delta\)BEC:\( \widehat{BEC}\) = 90⁰; M là trung điểm BC => \(EM = \dfrac{1}{2}.BC\)

Xét \(\Delta\)BDC: \( \widehat{BDC}\) = 90⁰; M là trung điểm BC => \(DM = \dfrac{1}{2}.BC\)

=> EM = DM => \(\Delta\)EMD cân tại M . Do MH là đường cao \(\Delta\)EMD

=> MH cũng là đường trung tuyến => H là trung điểm DE => HD = HE (1)

Xét tứ giác BFKC: BF // CK (Cúng vuông DE) => Tứ giác BFKC là hình thang (vuông)

Ta có: BF; CK; MH cùng vuông DE => MH // BF // CK

Xét hình thang BFKC: M là trung điểm BC; MH // BF // CK; H thuộc FK

=> H là trung điểm FK => HF = HK (2)

Từ (1) và (2) => HF - HE = HK - HD => EF = DK (đpcm).