cho tam giác ABC cân tại A. trên cạh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE . qua D và E kẻ các đường thẳng vuông góc vs BC cắt AB và AC lần lượt ở M;N.Gọi giao điểm của MN vs BC là I,Đường vuông góc vs MN kẻ qua I cắt tia phân giác của góc BAC ở O. chứng minh rằng:
a. DM=EN
b. I là trung điểm của MN
c. tam giác AOB= tam giác AOC
d.OC vuông góc vs AN
a) Ta có:
MBD =ECN(cùng bằng ACB)
Xét tam giác MDB và tam giác NEC (g.c.g)
=>DM=EN (hai cạnh tương ứng)
b)Vì MID=NIC(đối đỉnh) nên DMI=ENC
Xét tam giác DIM và tam giác EIN(g.c.g)
=>IM=IN(hai cạnh tương ứng)
=>I là trung điểm của MN
Vậy I là trung điểm của MN
c)Xét tam giác AOB và tam giác AOC có:
AB=AC(gt)
BAO=CAO(gt)
AO là cạnh chung
=>tam giác AOB=tam giác AOC(c.g.c)
Vậy tam giác AOB=tam giác AOC(c.g.c
a) Góc ACB = góc ECN (đđ)
Mà góc ACB = góc ABC (do ΔABC cân)
=> Góc ABC = góc ECN
Xét ΔBDM và ΔCEN :
+ Góc BDM = góc CEN = 90o
+ BD = CE (gt)
+ Góc ABC = góc CEN
=> ΔBDM = ΔCEN (cạnh góc vuông - góc nhọn)
=> DM = EN (2 cạnh tương ứng)
b) MD ⊥ BC; NE ⊥ BC
=> MD // NE
=> Góc DMI = góc ENI (2 góc so le trong)
Xét ΔDMI và ΔENI:
+ Góc MDI = góc NEI = 90o
+ MD = EN (cmt)
+ Góc DMI = góc ENI (cmt)
=> ΔDMI và ΔENI (cạnh góc vuông - góc nhọn)
=> IM = IN (1)
Vì I là giao điểm của MN và BC nên I nằm trên MN (2)
Từ (1) và (2) => I là trung điểm của MN
c) Xét ΔAOB và ΔAOC:
+ AO là cạnh chung.
+ Góc BAO = góc CAO
+ AB = AC (ΔABC cân tại A)
=> ΔAOB = ΔAOC (c-g-c)
d) Ta có: ΔAOB = ΔAOC (câu c) => OB = OC.
Xét ΔOBM và ΔOCN có:
+ BM=CN (cmt)
+ OB=OC (cmt)
+ MO=NO (cmt)
=> ΔOBM = ΔOCN (c-c-c)
=> Góc OCN = góc MBO hay góc OCN = góc ABO (2 góc tương ứng) (1)
Ta có: Tam giác ABO= tam giác ACO.
=> Góc ABO = góc ACO (2) suy ra góc ACO = góc OCN. Mà 2 góc này kề bù
=> OC ⊥ AN.
