Gọi K là giao điểm của AM và PQ.
(Giờ ta chứng minh hai ý: Tứ giác APKB là hình bình hành và AN = NK).
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta KMP\), ta có:
\(\widehat{AMB}=\widehat{KMP}\) (đối đỉnh).
BM = MP (M là trung điểm của PB).
\(\widehat{ABM}=\widehat{KPM}\) (Vì PQ // AB).
Do đó: \(\Delta AMB=\Delta KMP\left(g.c.g\right)\).
=> AM = MK.
Xét tứ giác APKB, ta có:
\(AM=MK=\dfrac{1}{2}AK\left(cmt\right)\)
\(BM=MP=\dfrac{1}{2}PB\left(gt\right)\)
Do đó: Tứ giác APKB là hình bình hành. (Xong 1 ý!!!).
Ta có:
\(\widehat{KBQ}=\widehat{ACB}\) ( Vì tứ giác APKB là hình bình hành).
\(\widehat{KQB}=\widehat{PQC}\) (đối đỉnh).
\(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\) (Tam giác ABC cân tại A).
\(\widehat{PQC}=\widehat{ABC}\) (PQ // AB).
Do đó: \(\widehat{KBQ}=\widehat{KQB}\)
=> \(\Delta BKQ\) cân tại K => KB = KQ.
Vì tứ giác APKB là hình bình hành (cmt) nên AP = KB.
Vậy KQ = AP.
Ta có: \(\widehat{APN}+\widehat{NPC}=180^o\left(1\right)\)
\(\widehat{NQK}+\widehat{NQP}=180^o\left(2\right)\)
Lại có: \(\widehat{PQC}=\widehat{PCQ}\left(=\widehat{ABC}\right)\)=> \(\Delta PQC\) cân tại P.
Do đó: PN là đường trung trực của \(\Delta PQC\).
Khi đó: PN là phân giác của \(\widehat{QPC}\) => \(\widehat{NPQ}=\widehat{NPC}\)
Lại có: \(\widehat{NPQ}=\widehat{NQP}\) (N là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta CPQ\)).
Do đó: \(\widehat{NQP}=\widehat{NPC}\left(3\right)\)
Từ (1), (2) và (3) => \(\widehat{APN}=\widehat{NQK}\)
Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta KQN\), ta có:
AP = KQ (cmt).
\(\widehat{APN}=\widehat{KQN}\left(cmt\right)\).
NP = NQ (N là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta CPQ\)).
Do đó: \(\Delta APN=\Delta KQN\left(c.g.c\right)\)
=> AN = NK => \(\Delta ANK\) cân tại N.
Lại có: MN là trung tuyến của \(\Delta ANK\left(AM=MK\right)\)(cmt)
Vậy MN là đường cao của \(\Delta ANK\)
Do đó: \(\widehat{AMN}=90^o\left(đpcm\right).\)
