a/ Xét tứ giác \(AHCM\) có :
+) I là trung điểm của AC
+) I là trung điểm của HM
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác AHCM là hình bình hành
Lại có : \(AH\perp HC\left(gt\right)\)
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác AHCM là hình chữ nhật
b/ Tứ giác AHCM là hình chữ nhật (ý a)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=HC\\AM\backslash\backslash HC\end{matrix}\right.\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có : Đường cao AH
\(\Leftrightarrow AH\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) và là đường trung tuyến ứng với BC của tam giác ABC
\(\Leftrightarrow HB=HC\)
Mà \(AM=HC\)
\(\Leftrightarrow HB=AM\left(1\right)\)
+) \(AM\backslash\backslash HC\), Mà \(H,B,C\) thẳng hàng
\(\Leftrightarrow AM\backslash\backslash HB\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\) Tứ giác AMHB là hình bình hành (đpcm)
c/ Tứ giác \(AHCM\) là hình vuông
\(\Leftrightarrow\) AC là tia p/g của \(\widehat{HAM}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{HAC}=45^0\)
\(\Leftrightarrow BAC=90^0\)
Vậy Tam giác ABC vuông cân thì tứ giác AHCM là hình vuôg