Question

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AD . Kẻ DM vuông góc với AB ( M thuộc AB ) , DN vuông góc AC tại N ( N thuộc AD ) .

a) Chứng minh AD là đường trung trực của MN .

b) Trên tia đối của DM lấy đoạn DE = DM . Chứng minh DE vuông góc CE tại E .

c) Cho biết BC = 10cm , BM = 3cm . Tính ME ?

HELP ME !!!!!!!!!!!! ~

Answer 1

a) Xét tam giác vuông BAD và tam giác vuông ACD có

AD chung ; AB = AC

=> tam giác ABD = tam giác ACD ( ch-cgv )

=> ^BAD = ^NAD

Xét tam giác vuông AMD và tam giác vông AND có

AD chung ; ^A1 = ^A2

=> tam giác AMD = tam giác AND ( ch- gn )

=> AM = AN ; MD = ND

A và D thuộc đường trung trực của AD

=> AD là đường trung trực của MN

Answer 2

a) Xét tam giác ADM và tam giác ADN có :

góc AMD = góc AND ( = 90^o )

AD chung

Góc DAM = góc DAN ( do tam giác ABC cân tại A)

⇒ tam giác ADM = tam giác ADN ( ch-gn)

⇒ AM = AN

⇒ tam giác AMN cân tại A

Có : AD là phân giác tại đỉnh A

⇒ AD cũng là trung trực

b) Xét tam giác DMB và tam giác DEC có :

BD = DC ( do tam giác ABC cân tại A)

Góc MDB = góc EDC ( dđ)

MD = DE (gt)

⇒ tam giác DMB = tam giác DEC (c.g.c)

⇒ DE ⊥ CE tại E

c) Ta có : BD = \(\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác DMB vuông tại M có:

MD² = BD² - BM²

MD² = 16

MD = 4 ( MD > 0)

⇒ ME = 2.MD = 2.4 = 8cm

Answer 3

a.

Gọi I là giao điểm của AD và MN

Ta có AD là đường cao của tam giác ABC cân tại A

=> AD vừa là đường phân giác và cũng là đường trung tuyến

Xét tam giác AMD vuông tại M và tam giác AND vuông tại N có:

AD cạnh chung

góc MAD = NAD ( AD là phân giác của góc BAC)

Do đó: \(\Delta AMD=\Delta AND\left(ch-gn\right)\)

=> MD = DN ( 2 cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác MDN cân tại D

Ta lại có: góc ADM = ADN ( \(\Delta AMD=\Delta AND\) )

=> DI là phân giác của góc MDN

Suy ra DI cũng là đường trung trực của tam giác MDN cân tại D

=> AD là đường trung trực của MN

b.

AD là đường trung tuyến của BC

=> BD = DC

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta CDE\) có:

BD = DC ( cmt)

góc BDM = CDE ( đối đỉnh)

DM = DE (gt)

Do đó: \(\Delta BDM=\Delta CDE\) ( c.g.c)

=> góc BMD = CED = 90^o

Do đó: DE vuông góc CE tại E

c.

\(BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5\left(cm\right)\)

Ta có tam giác BMD vuông tại M

=> BD² = BM² + MD²

=> MD² = BD² - BM²

=> MD² = 5² - 3²

=> MD = 4 (cm)

Ta có: ME = MD + DE

=> ME = 4 + 4 ( MD = DE)

=> ME = 8 (cm)