a) Ta có: AM là đường trung tuyến vừa là đường phân giác vừa là đường cao của \(\Delta ABC\)
Mà H là giao điểm của hai đường cao AM và BI nên H là trực tâm của \(\Delta ABC\)
Suy ra: CH là đường cao của \(\Delta ABC\) hay CH \(\perp\)AB (CE\(\perp\)AB)
b) Xét \(\Delta\)BEC và \(\Delta\)CIB, ta có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
BC : cạnh huyền chung
Do đó: \(\Delta\)BEC= \(\Delta\)CIB (ch-gn)
\(\Rightarrow\) BE = CI
c) EI cắt AM tại F
Vì AM là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)
Ta có: AB= AE + BE = AI + CI =AC
Mà BE = CI nên AE = AI
Xét \(\Delta\)AEF và \(\Delta\)AIF, ta có:
AE = AI (cmt)
\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)
AF cạnh chung
Do đó: \(\Delta\)AEF = \(\Delta\)AIF (c.g.c)
\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{AFI}\)
Mà \(\widehat{AFE}+\widehat{AFI}=180^0\) (Vì kề bù)
\(\widehat{\Rightarrow AFE}+\widehat{AFI}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
\(\Rightarrow AF\perp EI\) hay \(AM\perp EI\)
Vì EI và BC cùng vuông góc với AM nên EI // BC
