Question

Cho phương trình \(2x^2+2mx+m^2-2=0\left(1\right)\). Nếu x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (1) thì giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left|x_1+x_2-4+2x_1x_2\right|\)là...

Answer 1

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=-m^2+4\ge0\Rightarrow-2\le m\le2\)

Theo Viet ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(P=\left|x_1+x_2-4+2x_1x_2\right|=\left|-m-4+m^2-2\right|\)

\(P=\left|m^2-m-6\right|\)

Do \(m\in\left[-2;2\right]\) nên ta chỉ cần quan tâm P tại 3 giá trị của m: \(\left\{{}\begin{matrix}m=-2\\m=2\\m=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(P\left(-2\right)=0\) ; \(P\left(2\right)=\left|-4\right|=4\); \(P\left(\frac{1}{2}\right)=\left|-\frac{25}{4}\right|=\frac{25}{4}\)

So sánh 3 giá trị trên \(\Rightarrow P_{max}=\frac{25}{4}\) khi \(m=\frac{1}{2}\)