Cho (P): \(y=-\frac{1}{2}x^2\).
a) Gọi M khác O là 1 điểm thuộc (P), H là hình chiếu của M lên trục hoàn. Chứng minh tiếp tuyến của (P) tại M cắt trục hoành tại trung điểm của OH.
b) Tìm tọa độ điểm K cố định và đường thẳng (d): y = m sao cho với mọi điểm S thuộc (P) thì khoảng cách từ S->(d) bằng SK
a/ Gọi \(M\left(a;\frac{-a^2}{2}\right)\Rightarrow H\left(a;0\right)\)
Đường thẳng d đi qua M có phương trình \(y=kx+b\)
\(\Rightarrow\frac{-a^2}{2}=a.k+b\Rightarrow b=-\frac{a^2}{2}-ak\)
\(\Rightarrow y=kx-\frac{a^2}{2}-ak\)
Phương trình hoành độ giao điểm d và (P):
\(-\frac{x^2}{2}=kx-\frac{a^2}{2}-ak\Leftrightarrow x^2-2kx-a^2-2ak=0\) (1)
Để d tiếp xúc (P) thì (1) có nghiệm kép
\(\Rightarrow\Delta'=k^2+a^2+2ak=0\Leftrightarrow\left(k+a\right)^2=0\Rightarrow k=-a\)
\(\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: \(y=-ax+\frac{a^2}{2}\)
Tọa độ giao điểm B của d và Ox: \(y=0\Rightarrow-ax+\frac{a^2}{2}=0\Rightarrow x=\frac{a}{2}\)
Ta có \(B\left(\frac{a}{2};0\right)\) ; \(H\left(a;0\right)\); \(\Rightarrow x_B=\frac{1}{2}x_H\Rightarrow B\) là trung điểm OH
b/
Gọi \(K\left(x;y\right)\) và \(S\left(s;-\frac{s^2}{2}\right)\in\left(P\right)\)
\(\Rightarrow d\left(S;d\right)=\left|-\frac{s^2}{2}-m\right|=\left|\frac{s^2}{2}+m\right|\)
\(SK=\sqrt{\left(x-s\right)^2+\left(y+\frac{s^2}{2}\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(x-s\right)^2+\left(y+\frac{s^2}{2}\right)^2=\left(\frac{s^2}{2}+m\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+s^2-2sx+y^2+ys^2+\frac{s^4}{4}=\frac{s^4}{4}+ms^2+m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(y+1-m\right)s^2-2x.s+x^2+y^2-m^2=0\) (1)
Để \(SK=d\left(S;d\right)\) với mọi vị trí của S thì phương trình (1) đúng với mọi \(s\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1-m=0\\2x=0\\x^2+y^2-m^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=m-1\\y^2=m^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\frac{1}{2}\\m=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy điểm K có tọa độ \(K\left(0;-\frac{1}{2}\right)\) và phương trình d: \(y=\frac{1}{2}\)
