Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ hai tiếp tuyến Bx và Cy của (O).Gọi A là điểm trên nửa đường tròn sao cho AB<AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt Bx và Cy tại M và N
a/ Chứng minh MN = BM + CN
b/ Chứng minh OM vuông góc AB và OM song song với AC
c/ Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh AH2 = AB.ACsinBcosB
d/ Đường thẳng AC cắt Bx tại D. Chứng minh OD vuông góc BN
a .
Ta có \(MN=MA+AN\)
Mà \(MB=MA\)(tính chất hai tiếp tuyến)
\(NC=NA\)(tính chất hai tiếp tuyến)
\(\rightarrow MN=BM+CN\)
b . Ta có:
\(MA=MB\left(cmt\right)\)
\(OA=OB\left(bk\right)\)
Nên OM là đường btrung trực của AB
Cho nên \(OM\perp AB\)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có cạnh BC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại A
Cho nên \(AB\perp AC\)
Do đó \(OM//AC\)
c .
Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao nên
\(AH^2=HB.HC\)
Ta có :
\(BH=ABcosB\)
\(CH=ACcosC\) (hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông)
Mà \(cosC=sinB\) nên \(AH^2=AB.ACsinBcosB\)
d .
OD cắt BN tại E chứng minh đúng góc\(\widehat{MON}=90^O\)
\(\Delta BOM\) đồng dạng \(\Delta CNO\)
\(\rightarrow\frac{BM}{OC}=\frac{OB}{CN}\)
Chứng minh đúng M là trung điểm BD nên
\(\frac{2BM}{2CO}=\frac{OB}{CN}\) cho nên \(\frac{BD}{BC}=\frac{BO}{CN}\)
\(\Delta BOD\) đồng dạng \(\Delta CNB\) nên \(\widehat{NBC}+\widehat{BDI}\)
Mà 
\(\widehat{BDO}+\widehat{BOD}=90^O\) nên \(\widehat{NBC}+\widehat{BOE}=90^O\) 
cho nên 
\(\widehat{BEO}=90^O\)
Vậy OD vuông góc BN
