Lời giải:
Vì \(x_1,x_2,....,x_n\in \left\{-1;1\right\}\) nên \(x_1x_2; x_2x_3;...; x_nx_1\in\left\{-1;1\right\}\)
Khi đó, để \(x_1x_2+x_2x_3+....+x_nx_1=0(*)\) thì số số hạng có giá trị 1 phải bằng số số hạng có giá trị -1
Mà (*) có $n$ số hạng nên $n$ phải chẵn. Khi đó, số số hạng có giá trị 1 bằng số số hạng có giá trị -1 và bằng \(\frac{n}{2}\)
\(\Rightarrow x_1x_2.x_2x_3.....x_nx_1=(-1)^{\frac{n}{2}}(1)^{\frac{n}{2}}=(-1)^{\frac{n}{2}}\)
Mà \(x_1x_2x_2x_3....x_nx_1=(x_1x_2...x_n)^2\)
Suy ra \((x_1x_2...x_n)^2=(-1)^{\frac{n}{2}}\)
Bên vế trái mang giá trị dương, do đó bên vế phải mang giá trị dương
Nếu n chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 thì \(\frac{n}{2}\) lẻ, kéo theo \((-1)^{\frac{n}{2}}=-1< 0\) (vô lý)
Do đó $n$ chia hết cho $4$
\((x_1x_2).(x_2x_3)...(x_nx_1)=(x_1x_2...x_n)^2\)
