Question

Cho m, n không đồng thời bằng 0. Tìm điều kiện của m,n để hàm số y=m sinx -n cosx -3x nghịch biến trên R

A.m³ +n³ >= 0 B.m=2, n=1 C. m²+n² <=9 C. m³+n³<=9

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

Để hàm \(y=m\sin x-n\cos x-3x\) nghịch biến trên R thì:

\(y'=m\cos x+n\sin x-3\leq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow m\cos x+n\sin x\leq 3\), \(\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (m\cos x+n\sin x)_{\max}\le 3(*)\)

Ta thấy theo BĐT Bunhiacopxky:

\((m\cos x+n\sin x)^2\leq (m^2+n^2)(\cos ^2x+\sin ^2x)\)

hay \((m\cos x+n\sin x)^2\leq m^2+n^2\)

\(\Rightarrow m\cos x+n\sin x\leq \sqrt{m^2+n^2}\).

Do đó \((m\cos x+n\sin x)_{\max}=\sqrt{m^2+n^2}(**)\)

Từ (*) và (**) suy ra để \(y'\leq 0\) thì \(\sqrt{m^2+n^2}\leq 3\Leftrightarrow m^2+n^2\leq 9\)

Đáp án C.