a) + Gọi I là giao điểm của EM và CD
+ Tứ giác DIMF có 3 góc vuông
=> Tứ giác DIMF là hình chữ nhật
+ Hcn DIMF có DM là tia phân giác của góc IDF
=> Tứ giác DIMF là hình vuông
=> DF = FM = AE
+ ΔCDF = ΔDAE ( c.g.c )
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CF=DE\\\widehat{DCF}=\widehat{ADE}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CF=DE\\\widehat{DCF}+\widehat{DFC}=\widehat{ADE}+\widehat{DFC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DE=CF\\\widehat{ADE}+\widehat{DFC}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DE=CF\\DE\perp CF\end{matrix}\right.\)
b) Gọi H là giao điểm của CM = EF
Theo kết quả câu a) ta có :
+ ΔABF = ΔBCE ( c.g.c )
=> BF ⊥ CE
+ ΔEMF = ΔCIM ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{EFM}=\widehat{CMI}\)
\(\Rightarrow\widehat{EFM}+\widehat{HMF}=\widehat{CMI}+\widehat{HMF}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{FHM}=90^o\Rightarrow CM\perp EF\)
+ ΔECF có FB, ED và CM là 3 đường cao
=> DE, BF, CM đồng quy
c) + Áp dụng bđt \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b ta có
\(S_{AEMF}=AE\cdot ME\le\dfrac{\left(AE+ME\right)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{S_{ABCD}}{4}\)\
Dấu "=" xảy ra <=> AE = ME
<=> M là trung điểm của BD
<=> M là tâm hình vuông ABCD
Vậy Min \(S_{AEMF}=\dfrac{S_{ABCD}}{4}\) <=> M là tâm hình vuông ABCD
* CM bđt \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
+ \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
