Lời giải:
Kẻ \(NT\perp BC, CH\perp AD\) \(\Rightarrow NT\parallel CH\)
Hiển nhiên $ABCH$ là hình vuông\(\Rightarrow AH=AB=\frac{AD}{2}\Rightarrow HD=\frac{AD}{2}=HC\)
\(\Rightarrow \triangle HCD\) vuông cân tại $H$
\(\Rightarrow 45^0=\angle DCH=\angle TNC\), kéo theo tam giác \(NCT\) vuông cân tại $T$ \(\Rightarrow NT=CT\)
Xét thấy:
\(\left\{\begin{matrix} \angle BAM=\angle TMN(=90^0-\angle AMB)\\ \angle ABM=\angle MTN=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABM\sim \triangle MTN\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BM}=\frac{MT}{TN}\Leftrightarrow \frac{BC}{BM}=\frac{MT}{CT}\)
\(\Leftrightarrow BC.CT=MT.BM\Leftrightarrow (BM+MC)(MT-MC)=MT.BM\)
\(\Leftrightarrow MC.MT-BM.MC-MC^2=0\)
\(\Leftrightarrow MT-BM-MC=0\Leftrightarrow CT=BM\)
Khi đó, vì \(\triangle ABM\sim \triangle MTN\Rightarrow \frac{AM}{MN}=\frac{BM}{TN}=\frac{BM}{CT}=1\)
\(\Leftrightarrow AM=MN\) hay tam giác $AMN$ vuông cân .
