\(AM=\sqrt{AD^2+DM^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\) ; \(AK=\frac{a\sqrt{5}}{6}\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AM\Rightarrow\Delta SAM\) vuông tại A với đường cao AK
\(\Rightarrow\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AM^2}\Rightarrow SA=\frac{AK.AM}{\sqrt{AM^2-AK^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{8}\)
b/ Qua K kẻ đường thẳng song song CD cắt SD tại P \(\Rightarrow P\in\left(ABK\right)\)
Từ P kẻ \(PH\perp AD\Rightarrow PH//SA\Rightarrow PH\perp\left(ABCD\right)\)
\(SK=\sqrt{SA^2-AK^2}=\frac{a\sqrt{10}}{24}\); \(SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\frac{3a\sqrt{10}}{8}\)
\(\frac{AH}{AD}=\frac{SP}{SD}=\frac{SK}{SM}\Rightarrow AH=\frac{AD.SK}{SM}=\frac{a}{9}\Rightarrow DH=\frac{8a}{9}\)
\(\frac{PH}{SA}=\frac{HD}{AD}\Rightarrow PH=\frac{SA.HD}{AD}=\frac{a\sqrt{10}}{9}\)
Từ H kẻ \(HI\perp AP\Rightarrow HI\perp\left(ABK\right)\Rightarrow\) HI là k/c từ H đến (ABK)
\(\frac{1}{HI^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{PH^2}\Rightarrow HI=\frac{AH.PH}{\sqrt{AH^2+PH^2}}=\frac{a\sqrt{110}}{99}\)
\(\Rightarrow\) Khoảng cách từ D đến (ABK):
\(d\left(D;\left(ABK\right)\right)=\frac{HI.AD}{AH}=\frac{a\sqrt{110}}{11}=\frac{a\sqrt{10}}{\sqrt{11}}\)
