Lời giải:
Trên $SA,SB$ lấy lần lượt hai điểm \(M,N\) sao cho \(SM=SN=SC=2a\)
Sử dụng định lý hàm số cos:
\(CM^2=SC^2+SM^2-2.SC.SM\cos CSA=4a^2\)
\(\Rightarrow CM=2a\)
\(MN^2=SM^2+SN^2-2.SM.SN\cos ASB=(8-4\sqrt{3})a^2\)
\(\Rightarrow MN=(\sqrt{6}-\sqrt{2})a\)
\(CN^2=SC^2+SN^2-2.SC.SN\cos CSB=(8-4\sqrt{2})a^2\)
\(\Rightarrow CN=2\sqrt{2-\sqrt{2}}a\)
Gọi $p$ là nửa chu vi tam giác $CMN$
\(p=\frac{(2+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{2-\sqrt{2}})a}{2}\)
Sử dụng định lý Herong:
\(S_{CMN}=\sqrt{p(p-CN)(p-MN)(p-CM)}\approx 0,78a^2\)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$
\(S_{CMN}=\frac{CM.CN.MN}{4R}\Rightarrow R\approx a\)
Từ $S$ kẻ \(SH\perp (CMN)\). Vì hình chóp $S.CMN$ có các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao hạ từ $S$ xuống mp \((CMN)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$
Sử dụng định lý Pitago:
\(\Rightarrow SH=\sqrt{SC^2-R^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=\sqrt{3}a\)
\(\Rightarrow V_{S.CMN}=\frac{1}{3}S_{CMN}.SH\approx \frac{1}{3}.0,78a^2.\sqrt{3}a=\frac{13\sqrt{3}a^3}{50}\)
Có:
\(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.CMN}}=\frac{SA.SB.SC}{SC.SM.SN}=\frac{4a.3a.2a}{2a.2a.2a}=3\)
\(\Rightarrow V_{S.ABC}=3V_{S.CMN}\approx\frac{39\sqrt{3}a^3}{50}\)
