Lời giải:
a)
Vì \(BN=DQ, AD=BC\Rightarrow AD-DQ=BC-BN\) hay \(AQ=NC\)
Xét tam giác $AQM$ và $CNP$ có:
\(\left\{\begin{matrix} AQ=CN\\ AM=CP\\ \widehat{QAM}=\widehat{NCP}(\text{do ABCD là hình bình hành})\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AQM=\triangle CNP(c.g.c)\Rightarrow QM=NP\)
Hoàn toàn tương tự: \(\triangle MBN=\triangle PDQ(c.g.c)\Rightarrow MN=PQ\)
Tứ giác $MNPQ$ có 2 cặp cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.
b)
Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $MP$
Xét tam giác $AKM$ và $CKP$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{KAM}=\widehat{KCP}(\text{so le trong})\\ \widehat{KMA}=\widehat{KPC}(\text{so le trong})\\ AM=CP\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \triangle AKM=\triangle CKP(g.c.g)\)
\(\Rightarrow AK=CK; KM=KP(1)\)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự, $MNPQ$ là hình bình hành nên $MP, QN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà từ $(1)$ suy ra $K$ là trung điểm của $AC, MP$, do đó $K$ cũng là trung điểm của $BD, QN$
Do đó $AC,BD, MP,NQ$ đồng quy tại (trung điểm) $K$.
