Hình học lớp 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phương

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là giao điểm các đường phân giác của tam giác OAB, OBC, OCD, ODA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.b) Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ?bạn nào giúp mình với mình bị bí bài này mất rồi mình cần gấp cảm ơn các bạn nhiều ạ ( làm chi tiết giúp mình nha )
Vy Nguyễn Đặng Khánh
2 tháng 8 2018 lúc 21:51

a)

△AQD và △CNB có:

- \(\widehat{DAQ}=\widehat{BCN}\) (Hai nửa của 2 góc bằng nhau)

- AP = BC (Hai cạnh đôi 1 hình bình hành)

- \(\widehat{ADQ}=\widehat{CBN}\) (Hai nửa của 2 góc bằng nhau)

⇒ △AQD = △CNB (g-c-g) ⇒ AQ = CN

Tương tự có: AM = CP

△AMQ và △CPN có:

- AQ = CN (cmt)

- \(\widehat{MAQ}=\widehat{PCN}\) (Hai nửa của 2 góc bằng nhau)

- AM = CP (cmt)

⇒ △AMQ = △CPN (c-g-c) ⇒ MQ = NP (1)

Tương tự cũng có MN = QP (2)

△MQP có O là trung điểm của cạnh MP và QO vuông góc MP (tính chất 2 tia phân giác của 2 góc kề bù) ⇒ QO là trung tuyến ứng với cạnh MP đồng thời cũng là đường cao ứng với cạnh này ⇒ △MQP cân tại Q ⇒ QM = OP (3)

Từ (1), (2), (3) có MN = NP = PQ = QM ⇒ MNPQ là hình thoi (theo dấu hiệu 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi)

Vy Nguyễn Đặng Khánh
2 tháng 8 2018 lúc 21:59

b)

Theo câu a, MNPQ là hình thoi nên AC vuông góc BD và hình thoi có các đường chéo là phân giác của các góc nên các tam giác: △AMO = △CNO = △CPO = △AQO (g-c-g)

⇒ OM = ON = OP = OQ ⇒ MP = NQ ⇒ MNPQ là hình chữ nhật

△MOQ = △MON (c-g-c) ⇒ MN = MQ ⇒ Hình chữ nhật MNPQ lại là hình vuông (Theo dấu hiệu 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông)

Vậy MNPQ là hình vuông ⇔ ABCD là hình thoi


Các câu hỏi tương tự
Phương
Xem chi tiết
Phương
Xem chi tiết
Vũ Khánh Loan
Xem chi tiết
NT Mỹ Châu
Xem chi tiết
Phan Ngọc Thùy Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Huyền
Xem chi tiết
Thư Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Ngọc Ngân
Xem chi tiết
Ngọc Thành
Xem chi tiết