a, Ta có :
E là trung điểm của BC => EB = EC = \(\dfrac{1}{2}\) BC
F là trung điểm của AB => FA = FB = \(\dfrac{1}{2}\) AB
=> EB = EC = FA = FB
Vì ABCD là hình bình hành => AD // BC hay AF // BE
Tứ giác ABEF có AF // BE ; AF = BE
=> ABEF là hình bình hành
mà BE = AB (cùng = \(\dfrac{1}{2}\) BC )
=> ABEF là hình thoi
b, Vì I đối xứng với A qua B => B là trung điểm của AI => AB = BI
mà AB = EF (do ABEF là hình thoi)
=> BI = EF
Ta có : AB // EF (do ABEF là hình thoi ) hay BI // EF
Tứ giác BFEI có BI // EF ; BI = EF
=> BFEI là hình bình hành
Vì AF // BE => \(\widehat{A_1}+\widehat{ABE}=180^o\) (2 góc trong cùng phía)
=> \(60^o+\widehat{ABE}=180^O\)
=> \(\widehat{ABE}=120^o\)
Vì ABEF là hình thoi
=> BF là phân giác \(\widehat{ABE}\) => \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABE}=\dfrac{1}{2}.120^O=60^O\)
Lại có : \(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}=60^O\) (2 góc đồng vị do AF // BE )
=> \(\widehat{B_2}=\widehat{B_3}=60^O\) => BE là phân giác \(\widehat{FBI}\)
mà BFEI là hình bình hành (cmt)
=> BFEI là hình thoi => FI ⊥ BE hay FI ⊥ BC
c, Tứ giác BFDE có : FD = BE ; FD // BE
=> BFDE là hình bình hành
=> BE // DE
mà BE // IE (do BFEI là hình thoi)
Theo tiên đề Ơclit => DE và IE phải trùng nhau
=> 3 điểm D, I, E thẳng hàng
a, Vì tứ giác ABCD là hình bình hành
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB // CD}\\\text{AB = CD}\\\text{AD // BC}\\\text{AD = BC}\end{matrix}\right.\)
Vì AD // BC ⇒ AF // BE
Vì AD = BC ⇒ \(\dfrac{1}{2}\)AD = \(\dfrac{1}{2}\)BC
Vì F là trung điểm của AD
⇒ AF = FD = \(\dfrac{1}{2}\)AD
Vì E là trung điểm của BC
⇒ BE = EC = \(\dfrac{1}{2}\)BC
Như vậy \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\text{AD = }\dfrac{1}{2}\text{BC}\\\text{AF = FD = }\dfrac{1}{2}\text{AD}\\\text{BE = EC =}\dfrac{1}{2}\text{BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ AF = FD = BE = EC
Tứ giác ABEF có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{AF // BE }\\\text{AF = BE }\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác ABEF là hình bình hành (1)
Vì BC = 2AB
⇒ AB = \(\dfrac{1}{2}\)BC
mà BE = \(\dfrac{1}{2}\)BC
⇒ AB = BE (2)
Từ (1), (2) ⇒ Tứ giác ABEF là hình thoi (đpcm)
b, Vì tứ giác ABEF là hình thoi
⇒ AB = BE = EF = AF
Vì AB = AF
⇒ ΔABF cân tại A
có \(\widehat{A}=60^0\)
⇒ ΔABF đều
⇒ AB = BF = AF
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = EF}\\\text{AB = BF}\end{matrix}\right.\)
⇒ EF = BF
⇒ F thuộc đường trung trực của BE (3)
Vì I đối xứng với A qua B
⇒ B là trung điểm của AI
⇒ AB = BI
Mà AB = BE
⇒ BI = BE
⇒ ΔBIE cân tại B
Vì AF // BE
⇒ \(\widehat{A}=\widehat{B_1}=60^0\)\(\) (đồng vị)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{ΔBIE cân tại B}\\\widehat{B_1}=60^0\end{matrix}\right.\)
⇒ ΔBIE đều
⇒ IB = IE = BE
Vì IB = IE
⇒ I thuộc đường trung trực của BE (4)
Từ (3), (4)
⇒ FI là đường trung trực của BE
⇒ FI ⊥ BE
⇒ FI ⊥ BC (đpcm)
c, Vì AB // CD ⇒ BI // CD
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AB = CD}\\\text{AB = BI}\end{matrix}\right.\)⇒ BI = CD
Tứ giác BICD có
\(\left\{{}\begin{matrix}\text{BI // CD}\\\text{BI = CD}\end{matrix}\right.\)
⇒ Tứ giác BICD là hình bình hành
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Tứ giác BICD là hình bình hành}\\\text{Hai đường chéo BC, ID}\\\text{E là trung điểm của BC}\end{matrix}\right.\)
⇒ E là trung điểm của ID
⇒ D, I, E thẳng hàng (đpcm)
Good luck!!!@@@
