Lời giải:
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x+ay=2\\ ax-2y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=2-ay\\ ax-2y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a(2-ay)-2y=1\)
\(\Leftrightarrow y(a^2+2)=2a-1\)
Vì \(a^2+2\neq 0\forall a\in\mathbb{R}\) nên pt luôn có nghiệm duy nhất \(y=\frac{2a-1}{a^2+2}\)
Thay vào pt ban đầu \(\Rightarrow x=2-\frac{a(2a-1)}{a^2+2}=\frac{a+4}{a^2+2}\)
Vậy với mọi giá trị của $a$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \((x,y)=\left(\frac{a+4}{a^2+2}, \frac{2a-1}{a^2+2}\right)\)
Để \(x,y>0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a+4}{a^2+2}>0\\ \frac{2a-1}{a^2+2}>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+4>0\\ 2a-1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>-4\\ a> \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a> \frac{1}{2}\)
