Lời giải
Xét \(x_1>x_2\) ta có:
\(y(x_1)-y(x_2)=(3x_1^2+6x_1+5)-(3x_2^2+6x_2+5)\)
\(=3(x_1^2-x_2^2)+6(x_1-x_2)\)
\(=3(x_1-x_2)(x_1+x_2)+6(x_1-x_2)=3(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)\)
\(>0\) với mọi \(x_1>x_2>-1\)
\(\Rightarrow y(x_1)>y_(x_2)\) với mọi \(x_1>x_2>-1\)
Do đó hàm số đồng biến khi \(x>-1\)
b) Làm tương tự, ngược lại suy ra đpcm.
a) đặc : \(f\left(x\right)=y=3x^2+6x+5\)
giả sử \(-1< a< b\)
khi đó ta có : \(\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}=\dfrac{3a^2+6a+5-3b^2-6b-5}{a-b}\)
\(=\dfrac{3\left(a ^2-b^2\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}=\dfrac{3\left(a+b\right)\left(a-b\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}\)
\(=\dfrac{3\left(a+b+2\right)\left(a-b\right)}{a-b}=3\left(a+b+2\right)\)
vì \(-1< a< b\Rightarrow a+b+2>0\Leftrightarrow3\left(a+b+2\right)>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}>0\) \(\Rightarrow\) hàm số này đồng biến khi \(x>-1\) (đpcm)
b) đặc : \(f\left(x\right)=y=3x^2+6x+5\)
giả sử \(a< b< -1\)
khi đó ta có : \(\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}=\dfrac{3a^2+6a+5-3b^2-6b-5}{a-b}\)
\(=\dfrac{3\left(a ^2-b^2\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}=\dfrac{3\left(a+b\right)\left(a-b\right)+6\left(a-b\right)}{a-b}\)
\(=\dfrac{3\left(a+b+2\right)\left(a-b\right)}{a-b}=3\left(a+b+2\right)\)
vì \(a< b< -1\Rightarrow a+b+2< 0\Leftrightarrow3\left(a+b+2\right)< 0\)
\(\Rightarrow\dfrac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}< 0\) \(\Rightarrow\) hàm số này nghịch biến khi \(x< -1\) (đpcm)
