Question

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left(x\right)=x^2\left(x-2\right)\left(x^6-6x+m\right)\)với mọi \(x\in R\).Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2020;2020] để hàm số \(g\left(x\right)=f\left(1-x\right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\)

Answer 1

Ta có: \(g'\left(x\right)=f'\left(1-x\right)=-\left(1-x\right)^2\left(-x-1\right)\left[\left(1-x\right)^2-6\left(1-x\right)+m\right]\)

\(=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)\left(x^2+4x+m-5\right)\)

Hàm số \(g\left(x\right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\)

\(\Leftrightarrow g'\left(x\right)\le0;\forall x< -1\left(1\right)\), (dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm).

Với \(x< -1\) thì \(\left(x-1\right)^2>0\) và \(x+1< 0\) nên (1) \(\Leftrightarrow x^2+4x+m-5\ge0,\forall x< -1\)

\(\Leftrightarrow m\ge-x^2-4x+5,\forall x< -1.\)

Xét hàm số \(y=-x^2-4x+5\) trên khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) Ta có bảng biến thiên:

x	\(-\infty\)                                  -2                                        -1
y	\(-\infty\) (dấu mũi tên lên)    9   (dấu mũi tên xuống)       8

Từ bảng biến thiên suy ra \(x\ge9\)

Kết hợp với m thuộc đoạn \(\left(-2020;2020\right)\) và m nguyên nên \(m\in\left\{9;10;11;.....;2020\right\}\)

Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn đề bài.