Cho hàm số \(f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên \(R\backslash\left\{0\right\}\) thỏa mãn \(x.f'\left(x\right)=x^2.f^2\left(x\right)+\left(2x-1\right).f\left(x\right)+1\) , với mọi \(x\in R\backslash\left\{0\right\}\) đồng thời thỏa \(f\left(1\right)=-2\). Tính \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\).
Giúp mình với ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(x.f'\left(x\right)=\left[x.f\left(x\right)+1\right]^2-f\left(x\right)\)
\(\Leftrightarrow x.f'\left(x\right)+f\left(x\right)=\left[x.f\left(x\right)+1\right]^2\)
\(\Leftrightarrow\left[x.f\left(x\right)+1\right]'=\left[x.f\left(x\right)+1\right]^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left[x.f\left(x\right)+1\right]'}{\left[x.f\left(x\right)+1\right]^2}=1\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{x.f\left(x\right)+1}=x+C\)
Thay \(x=1\Rightarrow C+1=1\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{x.f\left(x\right)+1}=x\)
Thay \(x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow-\dfrac{1}{\dfrac{f\left(\dfrac{1}{2}\right)}{2}+1}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-6\)
