Question

Cho hai số a, b thoả mãn điều kiện a + b =1

Chứng minh rằng: \(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1^2=1\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Answer 2

Điều kiện của đề bài : \(a+b=1\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\) ( * )

Ta lại có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (*)

Cộng (1) (2) lại tao có :

\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2+a^2+b^2+2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

Mà : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)

Answer 3

Ta có : a + b =1 \(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Rightarrow a^2+2ab+b^2=1\) (1)

Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) (2)

Cộng (1) và (2) theo từng vế , ta được :

\(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\ge1\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\) ( đpcm )