Giả sử \(f\left(x\right)\) có bậc k \(\Rightarrow f'\left(x\right)\) có bậc \(k-1\) và \(f''\left(x\right)\) có bậc \(k-2\)
\(\Rightarrow f''\left(x\right)+3x^2-5\) có bậc lớn nhất bằng \(max\left\{k-2;2\right\}\)
\(\Rightarrow k-1=max\left\{k-2;2\right\}\Rightarrow k-1=2\) (do \(k-1\ne k-2\) với mọi k)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) là đa thức bậc 3 có dạng: \(y=ax^3+bx^2+cx-5\) với \(a\ne0\)
\(3ax^2+2bx+c=6ax+2b+3x^2-5\)
\(\Leftrightarrow3ax^2+2bx+c=3x^2+6ax+2b-5\)
Đồng nhất 2 vế: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b=6a\\c=2b-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\\c=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2+x-5\)
Đặt \(sin^2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(f\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^3+3t^2+t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+4t+5\right)=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow sin^2x=1\Leftrightarrow cosx=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Rightarrow\frac{\pi}{2}+k\pi\le2020\Rightarrow k\le\frac{4040-\pi}{2\pi}\)
\(\Rightarrow k_{max}=642\Rightarrow x_{max}=\frac{\pi}{2}+642\pi\)
