Question

Cho êiểểm O nằm trong tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm D,E,F sao cho OD song song với BC, OE song song với CA, OF song song với AB. CMR:

a)DOE=EOF=FOD

b) Ba đoạn thẳng OA, OB, OC thoả mãn bất đẳng thức tam giác

Answer 1

a) DO, EO, FO cắt CA, AB, BC lần lượt tại D', E', F'
từ các góc đồng vị ta dễ cm ODE'; OEF' và OFD' là các tgiác đều
(tgiác cân có góc = 60o)

=> góc DOE = góc FOE = góc FOD = 180o - 60o = 120o

b) không giãm tính tổng quát giả sử OA là đoạn lớn nhất
nên ta chỉ cần cm OA < OB + OC

Ta cũng dễ cm: AFOE'; BDOF'; CEOD' là các hình bình hành

=> OD = OE' = AF và OD' = OF
trong tgiác AOF ta có OA < AF + OF => OA < OD + OD' (■)

mặt khác trong tgiác OBD có góc ODB = 120o (là góc lớn nhất) => OD < OB (*)
truơng tự trong tgiác OCD' có góc OD'C = 120o là góc lớn nhất => OD' < OC (**)

Từ (■), (*) và (**) ta có:
OA < OD + OD' < OB + OC

Vậy OA, OB, OC là độ dài 3 cạnh của một tgiác nào đó