Bài 1: Tìm các số a1, a2, a3,..., a9 biết:
\(\dfrac{a_1-1}{9}=\dfrac{a_2-2}{8}=...=\dfrac{a_9-9}{1}\) và \(a_1+a_2+...+a_9=90\)
Giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a_1-1}{9}=\dfrac{a_2-2}{8}=...=\dfrac{a_9-9}{1}=\dfrac{a_1-1+a_2-2+...+a_9-9}{9+9+...+1}=\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_9\right)-\left(1+2+...+9\right)}{9+8+...+1}=\dfrac{90-45}{45}=1\)
Ta có: \(\dfrac{a_1-1}{9}=1\Rightarrow a_1=10\). Tương tự: \(a_1=a_2=...=a_9=10\).
Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng \(\dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{6},\dfrac{y}{8}=\dfrac{z}{7}\) và \(x+y-z=69\).
Giải:
Biến đổi \(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24},\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}\Rightarrow\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{24}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y-z}{20+24-21}=\dfrac{x+y-z}{23}=\dfrac{69}{23}=3\).
Từ đó suy ra: \(x=60,y=72,z=63\).
Bài 3: Tìm x và y biết \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{5}\) và \(x\cdot y=40\).
Giải:
Đặt \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}=k\Rightarrow x=2k\left(k\in Z\right),y=5k;x\cdot y=40\Rightarrow2k\cdot5k=40\)
\(\Leftrightarrow k^2=4\Leftrightarrow k=\pm2\). Suy ra \(x=\pm4,y=\pm10\).
Bài 4: Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\ne1;abcd\ne0\). Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\).
Giải:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow ac-ad=ac-bc\)
\(\Rightarrow a\left(c-d\right)=c\left(a-b\right)\Rightarrow\dfrac{a}{a-b}=\dfrac{c}{c-d}\left(đpcm\right)\)
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
Lời giải:
Cách 1:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99).
Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:
(2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949
Khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Cách 2:
Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
Lời giải:
Cách 1:
Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ.
Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:
1= 2.1 - 1
3 = 2.2 - 1
5 = 2.3 - 1
...
999 = 2.500 - 1
Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:
Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:
10 = 2.4 + 2
12 = 2.5 + 2
14 = 2.6 + 2
...
998 = 2.498 + 2
Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy: 495 = (998 - 10)/2 + 1 hay số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
Khi đó ta có:
| D = 10 + 12 = ... + 996 + 998 | |
| + | D = 998 + 996 ... + 12 + 10 |
| 2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 |
2D = 1008.495 → D = 504.495 = 249480
Thực chất D = (998 + 10).495 / 2
Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d.
Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: 
Tổng các số hạng của dãy (*) là: 
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d
Hoặc khi u1 = d = 1 thì 
Bài 4. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)
Lời giải:
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:
Gọi a1 = 1.2 → 3a1 = 1.2.3 → 3a1 = 1.2.3 - 0.1.2
a2 = 2.3 → 3a2 = 2.3.3 → 3a2 = 2.3.4 - 1.2.3
a3 = 3.4 → 3a3 = 3.3.4 → 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
an-1 = (n - 1)n → 3an-1 =3(n - 1)n → 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
an = n(n + 1) → 3an = 3n(n + 1) → 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)
Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)
* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)
