Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O;R) (Q, P là 2 tiếp điểm). Lấy M thuộc đường tròn (O;R) sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn (O;R). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
1) Chứng minh tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp và \(KA^2=KN.KP\)
2) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O;R). Chứng minh NS là tia phân giác của góc PNM.
Xét tứ giác APOQ có APO=90 và AQO=90
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác APOQ nt
Ta thấy MP//QA nên NAK=NMP(2 góc slt)
mà NMP=\(\frac{1}{2}\stackrel\frown{PN}\) =NPA(góc nội tiếp )
từ đó ta được NAK=NPA
Xét tam giác KAN và KPA có PKA chung
KPA=NAK(cmt)
nên tam giác KAN đồng dạng với KPA
suy ra đpcm
b.Ta thấy QS là đường kính của (O;R),AQ là tiếp tuyến nên AQ vuông góc với QS
mà AQ//PM nên PM vuông góc với QS
mặt khác PM là dây cung QS là đường kính lại vuông góc với PM nên S là điểm chính giữa dây cung PM
Hay \(\stackrel\frown{PS}=\stackrel\frown{SM}\)
suy ra đpcm
