Cho đường tròn (O;R) có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Gọi M là 1 điển trên bán kính OB sao cho OM = R2/3 , đường thẳng CM cắt đường tròn (O;R) tại N và cắt đường thẳng BD tại K
a, Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp
b, Chứng minh K là trung điểm của BD và KC.KN=R2/2
c, tính độ dài đoạn thẳng DN theo R
đề phải là OM=R/3 mới đúng chứ bạn
bạn tự vẽ hình theo đề OM=R/3 nha:
a) có \(\widehat{CND}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
hay \(\widehat{MND}=90^o\)
tứ giác OMND có \(\widehat{MND}+\widehat{MOD}=90^o+90^o=180^o\)
=> tứ giác OMND nội tiếp đường tròn
b)Có OM=R/3=OB/3 => BM=2/3 OB
tam giác CBD có BO là trung tuyến và BM=2/3 BO
=> M là trọng tâm của tam giác CBD
=> CM là trung tuyến của tam giác CBD
hay CK là trung tuyến
=> K là trung điểm của BD
\(\Delta KCB\) và\(\Delta KDN\) có:
\(\widehat{CKB}=\widehat{DKN}\)(2 góc đối đỉnh)
\(\widehat{KCB}=\widehat{KDN}\)(cùng chắn cung BN)
\(\Rightarrow\Delta KCB\sim\Delta KDN\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{KC}{KD}=\dfrac{KB}{KN}\)
=> KC.KN=KB.KD
tam giác OBD vuông tại O
\(\Rightarrow BD=\sqrt{OB^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}\)
=> \(KB=KD=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}\)
=> KC.KN=\(\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=\dfrac{R^2}{2}\left(đpcm\right)\)
c) tam giác COM vuông tại O
\(\Rightarrow CM=\sqrt{CO^2+OM^2}=\sqrt{R^2+\left(\dfrac{R}{3}\right)^2}=\dfrac{R\sqrt{10}}{3}\)
\(\Delta COM\) và \(\Delta CND\) có:
\(\widehat{OCM}chung\)
\(\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta COM\sim\Delta CND\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{OM}{DN}=\dfrac{CM}{CD}\)
\(\Rightarrow DN=\dfrac{OM.CD}{CM}=\dfrac{\dfrac{R}{3}.2R}{\dfrac{R\sqrt{10}}{3}}=\dfrac{R\sqrt{10}}{5}\)
