Ta có :
\(\frac{KC}{sin\widehat{CAK}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AKC}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AED}}=\frac{AE}{sin\widehat{ADE}}=\frac{AE}{sin\widehat{BIE}}=\frac{AE}{sin\widehat{AIE}}=\frac{3R}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{AKC}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow AK=\frac{2}{3R}\)
áp dụng định lý Py ta go vào \(\Delta AOK\) ta được
\(AK^2=AO^2+OK^2\)
\(\Rightarrow OK=\sqrt{R^2-\frac{4}{9R^2}}=\sqrt{9R^4-4}\)
\(\Rightarrow DK=OD-OK=R-\sqrt{9R^4-4}\)
\(AK=\frac{2}{\sqrt{3}}R\) chứ bạn?
vì 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau
=> C là điểm chính giữa của cung AB
Ta có : góc BEC là góc nội tiếp chắn cung BC
góc CEA là góc nội tiếp chắn cung CA
mà cung BC = cung CA (vì C là điểm chính giữa của cung AB)
=> góc BEC = góc CEA
=>EI là tia phân giác của góc BEA
=>\(\dfrac{EA}{EB}\)=\(\dfrac{IA}{IB}\)=3( vì I là trung điểm của OB)
=>\(\dfrac{EB}{EA}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
Vì góc AEB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=> góc AEB= 90 độ
xét Δ AOK và Δ AEB có
góc EAB là góc chung
góc AOK= góc AEB= 90 độ
=> Δ AOK~Δ AEB(g.g)
=>\(\dfrac{OA}{EA}\)=\(\dfrac{OK}{EB}\)
=>\(\dfrac{OK}{OA}\)=\(\dfrac{EB}{EA}\)
mà \(\dfrac{EB}{EA}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
=>\(\dfrac{OK}{OA}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
=> OK=\(\dfrac{OA}{3}\)
=> OK=\(\dfrac{R}{3}\)( vì OA=R)
ta có OK+ KD=OD
=> \(\dfrac{R}{3}\)+ KD= R( vì OK=\(\dfrac{R}{3}\);OD=R)
=> KD= R-\(\dfrac{R}{3}\)
=> KD=\(\dfrac{2R}{3}\)
Ta có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau
=> C là điểm chính giữa của \(\stackrel\frown{AB}\)
=> \(\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{BC}\)
=> \(\widehat{ACE}=\widehat{CEB}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung băng nhau )
=> EC là tia pg của \(\widehat{AEB}\)
=> \(\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{IB}{IA}=\dfrac{1}{3}\) ( tính chất tia pg của 1 góc )
Mặt khác \(\widehat{AEB}=90^0\) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Xét ΔAOK và ΔAEB có
\(\widehat{AOK}=\widehat{AEB}=90^0\)
\(\widehat{A}\) chung
=> ΔAOK ΔAEB (g.g)
=> \(\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{EB}{EA}\)
=> \(\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{1}{3}\)
=> OK = \(\dfrac{OA}{3}=\dfrac{R}{3}\)
Dễ thấy OK + DK = OD
=> DK = OD - OK = R - \(\dfrac{R}{3}\)= \(\dfrac{2R}{3}\)
Vậy DK = \(\dfrac{2R}{3}\)
Ta có đường kính AB _|_ DC ⇒ C là điểm chính giữa của cung AB
⇒ cung AC = cung CB
vì CEB là góc nt chắn cung BC
AEC là góc nt chắn cung AC
do đó CEB=AEC ⇒ EI là tia phân giác của AEB
EA / EB = IA / IB ( tc tia phân giác trong tam giác )
mà IB=IO =1/2 OB=1/2R
IA=AO+IO= R + 1/2 R =3/2 R
⇒IA/IB = EA/EB =3/2R : 1/2 R = 3
Ta có CD _|_ AB ⇒AOK =90
AEB là góc nt chắn nửa đt ⇒AEB =90
Xét △AOK và △AEB có
AOK=AEB
EAB chung
do đó △AOK đồng dạng vs △AEB (g.g)
⇒AO/AE=OK/EB ⇒AO/OK=AE/EB ⇒AO/OK =3 ⇒OK= AO:3 =R/3
mà OK + KD =OD ⇒DK = OD-OK = R-R/3 =2/3 R
Chứng minh được ΔAOK ΔAEB.
Vì 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau nên C là điểm chính giữa của cung AB
⇒cung AC = cung CB ⇒ BEC = CEA (2 góc nt chắn 2 cung bằng nhau)
⇒ CE là tia p/g góc AEB
Ta có OI=IB=1/2R
mặt khác AEB = 90o ( góc nt chắn nửa đường tròn) ⇒ΔAEB vuông tại E
Theo tính chất đg p/g có \(\dfrac{EB}{IB}\)=\(\dfrac{ÉA}{IA}\) ⇒ \(\dfrac{EB}{EA}\) = \(\dfrac{IA}{IB}\)= \(\dfrac{\dfrac{3}{2}R}{\dfrac{1}{2}R}\) = 3
⇒tan EAB = \(\dfrac{EB}{EA}\) = 3
Xét ΔAOK và ΔAEB có AOK = AEB = 90o ; Å chung
⇒ ΔAOK ΔAEB (g-g)
⇒\(\dfrac{OK}{EB}\) =\(\dfrac{AO}{AE}\) ⇔ \(\dfrac{AO}{OK}\) = \(\dfrac{EB}{AE}\)= 3 ⇔ OK = 1/3OA = 1/3R
DK = OD-OK = R-1/3R = 2/3R
Xét (O), ta có:
* góc AEB= 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
* CEB là góc nội tiếp chắn cung BC
=> góc CEB= 1/2 Sđ cung BC= 1/2 góc BOC= 1/2. 90 độ= 45 độ ( định lí)
* CEA là góc nội tiếp chắn cung AC
=> góc CEA= 1/2 Sđ cung AC= 1/2 góc AOC= 1/2. 90 độ= 45 độ ( định lí)
=> góc CEB= góc CEA (=45 độ)
Mà: tia EC nằm giữa EA, EB
=> EC là phân giác của góc AEB ( định nghĩa) hay EI là phân giác của góc AEB ( I thuộc EC)
Ta có:
* I là trung điểm của BO ( giả thiết)
=> OI= BI= 1/2 OB= 1/2R (đơn vị độ dài)
* AI= OA+ OI ( O thuộc AI)
<=> AI= R+ 1/2R= 3/2R ( đơn vị độ dài)
Xét tam giác AEB, ta có:
* EI là phân giác của góc AEB ( chứng minh trên)
=> AE/ BE= AI/ BI ( tính chất đường phân giác trong tam giác)
<=> AE/ BE= 3/2R / 1/2R = 3
* tan ABE= AE/ BE ( tỉ số lượng giác)
=> tan ABE= 3
Xét tam giác OAK và tam giác EAB, ta có:
góc AOD= góc AEB (=90 độ)
Góc BAE chung
=> Tam giác OAK đồng dạng tam giác EAB (g- g)
=> góc AKO= góc ABE ( 2 góc tương ứng)
Xét tam giác AOK vuông tại O (AB vuông góc CD tại O), ta có:
tan AKO= OA/ OK ( tỉ số lượng giác)
<=> tan ABE= R/ OK ( góc AKO= góc ABE)
<=> R/ OK= 3
=> OK= R/3 ( đơn vị độ dài)
Ta có: OK+ DK= OD ( K thuộc OD)
<=> DK= OD- OK= R- R/3= 2/3 R (đơn vị độ dài)
