Question

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại điểm E trên AB. Gọi H là hình chiếu của điểm E trên AD. Chứng minh rằng đường thẳng HE đi qua trung điểm M của BC.

Answer 1

Nối AC và OC

Xét △ABC có

OC=OA=OB=\(\dfrac{AB}{2}\)

Suy ra △ABC vuông tại C

Ta có \(\widehat{ACE}+\widehat{ECB}=90^0\)(1)

\(\widehat{ECB}+\widehat{CBE}=90^0\)(2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{CBE}\left(3\right)\)

Ta có dây CD⊥đường kính AB\(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của dây CD\(\Rightarrow CE=ED\)

Xét △ACE và △ADE có

CE=ED(cmt)

\(\widehat{AEC}=\widehat{AED}=90^0\)

AE chung

Suy ra △ACE = △ADE(c-g-c)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ADE}\left(4\right)\)

Từ (3),(4)\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{CBE}\left(5\right)\)

Ta có \(\widehat{AEH}=\widehat{ADE}\)(cùng phụ với \(\widehat{EAD}\))

Và \(\widehat{AEH}=\widehat{MEB}\)(hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat{ADE}=\widehat{MEB}\left(6\right)\)

Từ (5),(6)\(\Rightarrow\widehat{CBE}=\widehat{MEB}\)\(\Rightarrow\)△MEB cân tại M \(\Rightarrow EM=MB\)(7)

Ta có \(\widehat{ECM}+\widehat{EBC}=90^0\)

\(\widehat{CEM}+\widehat{MEB}=90^0\)

\(\widehat{CBE}=\widehat{MEB}\)

Suy ra \(\widehat{ECM}=\widehat{CEM}\)⇒△CME cân tại M⇒MC=ME(8)

Từ (7),(8)⇒EM=CM=MB=\(\dfrac{BC}{2}\)

Vậy đường thẳng HE đi qua trung điểm M của BC

Answer 2

.

 

Answer 3

.

Answer 4

kẻ MO vuông góc với CB
Ta có: MO là 1 phần đg kính của ddg tròn O
mà CB là dây của đg kính O
và MO vuông góc với CB
=> M là t điểm của CB (Liên hệ đg kính - dây)
=> EM là t tuyến của tam giác CEB
mà tam giác CEB vuông tại E
=> EM = 1/2 CB
mà CM=MB=1/2 CB
=> EM=CM=MB=1/2 CB
=> HE đi qua ...