Lời giải:
Vì $A,B,C,D$ cùng thuộc $(O)$ và $AB\cap CD$ tại $K$ nên:
$KD.KC=KB.KA$
$\Leftrightarrow KC(KC-CD)=KA(KA-AB)$
$\Leftrightarrow KC^2-KA^2=KC.CD-KA.AB$
$\Rightarrow KC^2-KA^2> KC.AB-KA.AB=AB(KC-KA)$
$\Leftrightarrow (KC-KA)(KC+KA-AB)>0$
$\Leftrightarrow (KC-KA)(KC+KB)>0$
$\Leftrightarrow KC-KA>0$
$\Leftrightarrow KC>KA$(đpcm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Gọi H là điểm nằm giữa O và B . Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H . Trên cung nhỏ AC lấy điểm E , kẻ CK vuông góc với AE tại K . Đường thẳng DE cắt CK tại F . Chứng minh :
a, Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn
b, AH . AD = AD^2
c, Tam giác ACF cân
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến MC,MD với đường tròn (C;D là tiếp tuyến ) .
a, Chứng minh : MO cắt CD
b, Đường thẳng MO cắt đường tròn tại A,B ( A nằm giữa M và O ) và cắt CD tại H.
c, Chứng minh : HA^2 + HB ^2 +CD^2/2 = 4R^2
Cho (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K. Cho A, B, C là 3 điểm cố định. CMR: Khi O thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho đường trong (o) đường kính AB. I là điểm nằm giữa O và B. Dây CD của (O) vuông góc với AB tại I. Tiếp tuyên của đương tròn (O) tại C cắt AB tại E. Vẽ đường kính DF của (O)
a) FC // AE
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I ( I nằm giữa A và O )
Lấy điểm E trên cung nhỏ BC (E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a, BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b, AE.AF=AC2
Bài 1 : Trên nửa đường tròn (O;R) đường kính BA. tâm O, lấy hai điểm M, E (M ≠ E ≠ A ≠ B) sao cho hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại điểm C nằm ngoài (O); AE cắt BM tại D.
a) Chứng minh : MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm của CD và AB. Chứng minh : BE.BC = HB.BA
c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.
Bài 2 : Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O;R) dựng hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN (B,C là tiếp điểm, tia An nằm giữa hai tia AB và AO, M nằm giữa A và N). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Chứng minh : AO vuông góc BC và tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh : AM.AN = AH.AO
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh : MI là tia phân giác của góc AMH.
Bài 3 : Cho ΔABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh : Tứ giác AFHE, BFEC nội tiếp
b) Chứng minh : AF.AB = AE.AC
c) Kẻ đường kính AOK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh : 3 điểm H,M,K thẳng hàng
cho đường tròn (o),2 dây AB,CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn.Kẻ OH vuông góc với AB và CD(H thuộc AB,K thuộc CD)
a,Chứng minh IO là phân giác góc KIH
b,Chứng minh IB=ID
c,Biết bán kính của đường tròn (o) bằng 5cm,AB=8cm.Tính độ dài đoạn OK?
Cho tam giác ABC nhọn (ab<ac) nội tiếp (o). Đường cao AH. D nằm giữa A và H. đường tròn đường kính AD cắt AB, AC tại M, N.
a/ Chứng minh: MN < AD và góc ABC = góc ÁM
b/ Chứng minh: BMNC nội tiếp
c/ Đường tròn đường kính AD cắt (O) tại F. Tia AE cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: K, M, N thẳng hàng
d/ Đường thẳng AH cắt MN tại I, cắt (O) tại F. Chứng minh: AD . AH = AI. AF
Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tia Ax nằm giữa AB và AO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.
a) Tính OH. OA theo R.
b) Gọi E là giao điểm của OM với HB. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn.
