Vẽ \(CI\perp AB\), \(ED\perp CA\).
\(\Delta ABC\) cân tại C có CI là đường cao
\(\Rightarrow\) CI là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.
Ta có: CI là đường phân giác của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACI} = \widehat{BCI}\) \(=\dfrac{\widehat{C}}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{ACI} = \widehat{BCI}\) \(=\dfrac{120^0}{2}=60^0\)
Ta có: CI là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow IA=IB=\dfrac{1}{2}AB\)
\(\Rightarrow IA=IB=\dfrac{3a}{2}=1,5a\)
Ta có: \(\widehat{A} = \widehat{B}\) \(=\dfrac{180^0-\widehat{C}}{2}\) (\(\Delta ABC\) cân tại C)
\(\Rightarrow\) \(\widehat{A} = \widehat{B}\) \(=\dfrac{180^0-120^0}{2}=30^0\)
\(\Delta EAD\) vuông tại E có \(\widehat{A}=30^0\)
\(\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}AD=0,5a\)
Có \(DI=AI-AD\)
\(\Rightarrow DI=1,5a-a\)
\(\Rightarrow DI=0,5a\)
Hai tam giác vuông CDE và CDI có:
CD là cạnh chung
ED = DI (= 0,5a)
\(\Rightarrow\Delta CDE=\Delta CDI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\dfrac{\widehat{ACI}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)
\(\Delta CDE\) có \(\widehat{C_1}=30^0\Rightarrow ED=\dfrac{1}{2}CD\)
Có: \(ED=\dfrac{1}{2}AD\), \(ED=\dfrac{1}{2}CD\)
\(\Rightarrow CD=CA\)
mà DA = a \(\Rightarrow\) CD = a
Vậy CD = a.