a) Xét \(\Delta ABM,\Delta ACM\) có:
\(AB=AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A)
\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)
\(AM:Chung\)
=> \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c.c.c\right)\) (*)
b) Xét \(\Delta BDM,\Delta CEM\) có :
\(\widehat{DBM}=\widehat{ECM}\) (Tam giác ACB cân tại A)
\(BM=MC\) (M là trung điểm của BC)
\(\widehat{BDM}=\widehat{CEM}\left(=90^o\right)\)
=> \(\Delta BDM=\Delta CEM\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(DM=EC\) (2 cạnh tương ứng)
=> \(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\)
Xét \(\Delta ADM,\Delta AEM\) có :
\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}\left(=90^{^o}\right)\)
\(DM=CE\left(cmt\right)\)
\(\widehat{DAM}=\widehat{EAM}\) (từ *)
=> \(\Delta ADM=\Delta AEM\left(g.c.g\right)\)
=> AD = AE (2 cạnh tương ứng)
Do đó : \(\Delta ADE\) cân tại A => đpcm
Xét \(\Delta ADE\) cân tại A có :
\(\widehat{ADE}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) cân tại A(gt) có :
\(\widehat{ABC}=\dfrac{180^{^O}-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{180^O-\widehat{A}}{2}\right)\)
Mà thấy : 2 góc này ở vị trí đồng vị
Do đó : \(DE//BC\left(đpcm\right)\)
c) Ta có : \(DM=EM\left(\Delta BDM=\Delta CEM-cmt\right)\) (3)
Ta dễ dàng chứng minh được : \(\Delta CEM=\Delta KBM\)
Từ đó suy ra : KM = ME (2 cạnh tương ứng)
\(\Leftrightarrow EK=2EM\) (4)
Từ (3) và (4) => \(EK=2MD\)
=> đpcm.