Question

Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

Answer 1

Nếu trong \(11\) số tự nhiên có \(1\) số chia hết cho 1\(10\) thì bài toán đã được

chứng minh.

Nếu trong \(11\) số đã cho, không có số nào chia hết cho \(10\), ta đặt:

\(A_1=1\)

\(A_2=1+2\)

...

\(A_{11}=1+2+3+...+10+11\)

Ta biết rằng, trong \(1\) phép chia cho \(10\), ta luôn nhận được \(10\) số dư từ \(0\)

đến \(9\)

Vì ta có \(11\) dãy số nên ít nhất có \(2\) dãy số có cùng số dư trong phép chia

cho \(10\).

Giả sử, dãy \(B_m\) và \(B_n\) có cùng số dư trong phép chia cho \(10\) thì,

\(\left(B_m-B_n\right)\) chia hết cho \(10\)

\(\RightarrowĐpcm\)