Hình như là GTNN nhỉ, thay số vào nó càng lớn mà
Ta chứng minh BĐT phụ
\(\sqrt{x^2+x+1}\le\dfrac{\sqrt{6}}{4}x+\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\left[\forall x\in0;1\right]\)
Tự biến đổi BĐT trở về BĐT hiển nhiên đúng:v
\(10\left(x-1\right)^2\ge0\)
Vậy: BĐT phụ được chứng minh
Áp dụng vào bài
\(\sqrt{a^2+a+4}\ge\dfrac{\sqrt{6}}{4}a+\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\)
\(\sqrt{b^2+b+4}\ge\dfrac{\sqrt{6}}{4}b+\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\)
\(\sqrt{c^2+c+4}\ge\dfrac{\sqrt{6}}{4}c+\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\)
Cộng vế theo vế 3 BĐT vừa chứng minh ta được \(P\ge3\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy: GTNN của P là \(3\sqrt{6}\) khi a=b=c1
Từ giả thiết ta có: \(0\le a;b;c\le3\)
Trước hết ta C/m BĐT: \(\sqrt{x^2+x+4}\le\dfrac{2x+6}{3}\forall x\in\left[0;3\right]\)
\(\Leftrightarrow x^2+x+4\le\left(\dfrac{2x+6}{3}\right)^2\forall x\in\left[0;3\right]\)
\(\Leftrightarrow5x\left(x-3\right)\le0\forall x\in\left[0;3\right]\) ( luôn đúng )
Vậy với \(\forall x\in\left[0;3\right]\Rightarrow\sqrt{x^2+x+4}\le\dfrac{2x+6}{3}\)
Lần lượt thay \(x=a;b;c\) rồi cộng các vế của 3 BĐT ta được:
\(P\le\dfrac{2\left(a+b+c\right)+18}{3}=8\)
Vậy GTLN của P là 8 xảy ra khi \(a=3;b=c=0\)
Chúc bạn hok tốt!
