Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sky

Cho các số thực không âm a. b. c thỏa mãn a + b + c = 3

TÌm GTLN của P = \(a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}-\sqrt{abc}\)

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 5 2021 lúc 6:50

\(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\Rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=3\\0\le x;y;z\le\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(P=x^2y+y^2z+z^2x-xyz\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)

\(\Rightarrow x^2y+y^2z\le xy^2+xyz\)

\(\Rightarrow P\le xy^2+z^2x+xyz-xyz=x\left(y^2+z^2\right)=x\left(3-x^2\right)\)

\(\Rightarrow P\le2-\left(x^3-3x+2\right)=2-\left(x-1\right)^2\left(x+2\right)\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hoặc \(\left(1;0;2\right)\) và một vài hoán vị


Các câu hỏi tương tự
🍀Cố lên!!🍀
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Thành Nguyễn
Xem chi tiết
tran xuân phương
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết