Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=2016

Tìm GTNN của biểu thức:\(P=\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}\)

Khôi Bùi
17 tháng 3 2019 lúc 18:41

Ta có : \(P=\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}\)

\(\Rightarrow P+3=\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+1+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+1+\frac{3a+3b+2c-1}{2017+c}+1\)

\(=\frac{3a+3b+3c+2016}{2015+a}+\frac{3a+3b+3c+2016}{2016+b}+\frac{3a+3b+3c+2016}{2017+c}\)

\(=\left(3a+3b+3c+2016\right)\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\)

\(=4.2016\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\) \(\left(a+b+c=2016\right)\)

\(=8064.\left(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\right)\)

Vì a ; b ; c dương , áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\), ta có :

\(\frac{1}{2015+a}+\frac{1}{2016+b}+\frac{1}{2017+c}\ge\frac{9}{2015+2016+2017+a+b+c}=\frac{9}{8064}\)

\(\Rightarrow P+3\ge8064.\frac{9}{8064}=9\) \(\Rightarrow P\ge6\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2015+a=2016+b=2017+c\\a+b+c=2016\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+1=c+2\\a+b+c=2016\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a=673;b=672;c=671\)

Vậy ...


Các câu hỏi tương tự
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
MOHAMET SALAS
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Liêm
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Y
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Lê Hoàng Bảo Long
Xem chi tiết