Sửa đề:
\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(=4x^2+4+\dfrac{1}{x^2}+4y^2+4+\dfrac{1}{y^2}\)
\(=8+4\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge8+4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{2}{xy}\)
\(\ge8+4.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=8+4.\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=18\)
Vậy GTNN là P = 18 đạt được khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Hình như đầu bài sai hay sao ý đáng ra phải là
P = \(\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
Mình giải theo đầu bài chữa nhé:
Vì x, y > 0
Áp dụng BĐT-Cauchy, ta có:
\(2x+\dfrac{1}{x}\ge\sqrt{2x+\dfrac{1}{x}}\)
\(2y+\dfrac{1}{y}\ge\sqrt{2y.\dfrac{1}{y}}\)
\(\Rightarrow P\ge\left(\sqrt{2x+\dfrac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{2y+\dfrac{1}{y}}\right)^2\)
\(P\ge\left(2\sqrt{2}\right)^2+\left(2\sqrt{2}\right)^2\)
\(P\ge8+8=16\)
GTNN của P là 16 khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)