Question

cho cá đa thức sau

M=7x^2y^2-2xy-5y^3-y^2+5x^4

N=-x^2y^2-4xy+3y^3-3y^2+2x^4

P=-3x^2y^2+6xy+2y^3+6y^2+7

tính M+N+P từ đó hãy chứng minh rằng : ít nhất 1 trong 3 đa thức đã cho có giá trị dươg vs mọi x,y

Answer 1

M = 7x²y² - 2xy - 5y³ - y² + 5x⁴

N = -x²y² - 4xy + 3y³ - 3y² + 2x⁴

P = -3x²y² + 6xy + 2y³ + 6y² + 7

M+N+P = 7x²y² - 2xy - 5y³ - y² + 5x⁴ + (-x²y² - 4xy + 3y³ - 3y² + 2x⁴) + (-3x²y² + 6xy + 2y³ + 6y² + 7)

M+N+P = 7x²y² - 2xy - 5y³ - y² + 5x⁴ - x²y² - 4xy + 3y³ - 3y² + 2x⁴ - 3x²y² + 6xy + 2y³ + 6y² + 7

M+N+P = (7x²y² - x²y² - 3x²y²) - (2xy + 4xy - 6xy) - (5y³ - 3y³ - 2y³) - ( y² + 3y² - 6y² ) + ( 5x⁴ + 2x⁴ ) + 7

M+N+P = 3x²y² + 2y² + 7x⁴ + 7

Ta có : M+N+P = 3x²y² + 2y² + 7x⁴ + 7

Vì 3x²y² + 2y² + 7x⁴ \(\ge\) 0

7 > 0

=> 3x²y² + 2y² + 7x⁴ + 7 > 0

=> M+N+P > 0 với mọi x,y

=> Ít nhất 1 trong 3 đa thức đã cho có giá trị dương với mọi x,y

Answer 2

Ta có:

M +N +P = (7x²y² -2xy -5y³ -y² +5x⁴) +(-x²y² -4xy +3y³ -3y² +2x⁴) +(-3x²y² +6xy +2y³ +6y² +7)

= 7x²y² -2xy -5y³ -y² +5x⁴ -x²y² -4xy +3y³ -3y² +2x⁴ -3x²y² +6xy +2y³ +6y² +7

= (7x²y² -x²y² -3x²y²) +(-2xy -4xy +6xy) +(-5y³ +3y³ +2y³) +(-y² -3y² +6y²) +(5x⁴ +2x⁴) + 7

= 3x²y² + 2y² + 7x⁴ + 7

\(x^2\ge0;y^2\ge0\Rightarrow3x^2y^2\ge0​\) (1)

\(y^2\ge0\Rightarrow2y^2\ge0\) (2)

\(x^4\ge0\Rightarrow7x^4\ge0\) (3)

7 > 0 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => \(3x^2y^2+2y^2+7x^4+7\ge0\)

Vậy ít nhất 1 trong 3 đa thức M, N, P có giá trị dương với mọi x, y