Question

Cho biểu thức

P=\(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\) Với x ≥ 0 , x ≠ 4

a, Rút gọn

b, Tính P khi x=\(6-2\sqrt{5}\)

c, Tìm x để P=\(\frac{2}{3}\)

d, Tìm x nguyên để P nguyên

e, Tìm x để P>1

Answer 1

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-4}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}-6}=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

\(b,x=6-2\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{5}-1\Rightarrow P=\frac{\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}-3}\)

\(P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow3\sqrt{x}-12=2\sqrt{x}-4\Leftrightarrow\sqrt{x}=8\Leftrightarrow x=64\)

\(d,\text{chua nghi ra :(}\)

\(e;P>1\)

\(+,\sqrt{x}>2\Leftrightarrow x>4\Leftrightarrow\sqrt{x}-2>0ma:\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-2>\sqrt{x}-4\\\sqrt{x}-2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow P< 1\left(loai\right)\)

\(+,\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow x< 4\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0ma:\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-4< \sqrt{x}-2\\\sqrt{x}-2< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow P>1\left(\text{thoaman}\right)\)

Answer 2

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{5}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4-5-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

\(x=6-2\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\Rightarrow P=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-4}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-2}=\frac{\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}-3}\)

\(P=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow3\sqrt{x}-12=2\sqrt{x}-4\Leftrightarrow\sqrt{x}=8\Rightarrow x=64\)

\(P=1-\frac{2}{\sqrt{x}-2}\in Z\Rightarrow\sqrt{x}-2=Ư\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{0;1;3;4\right\}\Rightarrow x=\left\{0;1;9;16\right\}\)

\(P>1\Leftrightarrow1-\frac{2}{\sqrt{x}-2}>1\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x}-2}< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow0\le x< 4\)

Answer 3

a) \(P=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-5-\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4-5-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x-\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}\)

b) Với \(x=6-2\sqrt{5}\) ( TM ĐK ) ta có :

\(P=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}-4}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}-2}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-4}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}-2}\)

\(=\frac{\sqrt{5}-1-4}{\sqrt{5}-1-2}=\frac{\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}-3}\)

c) \(P=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-4=3\sqrt{x}-12\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=8\Leftrightarrow x=64\) ( TM )

d) \(P\in Z\Leftrightarrow\sqrt{x}-4⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2-2⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Leftrightarrow2⋮\sqrt{x}-2\Leftrightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;1;9;16\right\}\) ( TM )\

e) \(P>1\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}-1>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2}{\sqrt{x}-2}>0\) \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\)

\(\Leftrightarrow0< x< 4\) ( TM )