Đk : \(a\ge0,a\ne1\)
a,Rút gọn được P= \(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)
b, Có P<1 <=> \(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}< 1\) <=> \(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-1< 0\)
<=> \(\frac{\sqrt{a}+1-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}< 0\) <=> \(\frac{2}{\sqrt{a}-1}< 0\) => \(\sqrt{a}-1< 0\)
<=> \(\sqrt{a}< 1\) <=> a<1 ,k/hợp với đk của a
=> \(0\le a< 1\)
Vậy để P<1 <=> 0\(\le\)a<1
c,Có P= \(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{a}-1}\)
Để \(P\in Z\) <=> \(\frac{2}{\sqrt{a}-1}\in Z\)
Với mọi a t/m đk có:\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{a}\in N\\\sqrt{a}\notin N\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{a}-1\in Z\\\sqrt{a}-1\notin Z\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}\frac{2}{\sqrt{a}-1}\in Z\left(tm\right)\\\frac{2}{\sqrt{a}-1}\notin Z\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\sqrt{a}-1\in\) Ư(2)\(=\left\{1,-1,2,-2\right\}\)
<=> \(\sqrt{a}\in\left\{2,0,3,-1\right\}\)
mà \(\sqrt{a}\ge0\) => \(\sqrt{a}\in\left\{2,0,3\right\}\) <=> \(a\in\left\{4,0,9\right\}\)
Tại a=0 => P=-1
Tại a=4=>P=3
Tại a=9 => P=2
Vậy a=4 thì P đạt GT nguyên lớn nhất
