Question

cho ba số x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 giá trị lớn nhất của biểu thức P =xy+yz+zx là

Answer 1

Lời giải:

Xét hiệu:

\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)}{2}\)

\(=\frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\)

Thấy rằng \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{2}\geq 0\)

hay \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Leftrightarrow 9\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+xz\leq 3\)

Vậy \((P=xy+yz+xz)_{\max}=3\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)