\(\Leftrightarrow4a^2-12ab-12ac-12bc+12b^2+12c^2>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac+8bc\right)+a^2-36bc>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36abc}{a}>0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-2b-2c\right)^2+\frac{a^3-36}{a}>0\) ( luôn đúng do \(a^3>36\) )
Do đó ta có đpcm
chứng minh các BĐT:
a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2;\)
b)\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn abc = 1 và a^3 > 36. Chứng minh rằng: 1/a*(b^2 + c^2 - bc) > b + c - a/3
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR :
B1
a. \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b. \(abc>\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c. \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4-c^4>0c\)
d. \(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)
B2
a. \(\dfrac{1}{a+b};\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{c+a}\) cũng là 3 cạnh 1 tam giác khác.
b. \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=2, ab+bc+ac=1. Chứng minh 4/3 >= a,bb,c >=0
1) Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR:
\(x^2+y^2+z^2\le11\)
3) Cho x,y,z là các số \(\ge1\). CMR:
a) \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b) \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c) \(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
help me ace legona!!!
1) chứng minh BĐT với a, b,c,d dương
\(a^3+b^3+c^3+d^3\ge a+b+c+d\)
2) với a,b,c dương chứng minh
\(\dfrac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}\ge\dfrac{abc}{a^3+b^3+c^3}\)
Cho hai số thực \(a\ne0,b\ne0\) thỏa mãn \(\left(a+b\right)ab=a^2+b^2-ab\). Chứng minh
a) \(4\left(a+b\right)ab=3\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)^2\)
b) \(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}\le16\)
bài 1 : cho a, b, c>0 thỏa mãn a2+b2+c2=3
chứng minh rằng \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}>=\dfrac{3}{2}\)
bài 2 : cho a, b, c>0. chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}>=\dfrac{1}{2}\)
bài 3 : cho a, b, c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=abc
tìm GTLN của \(S=\dfrac{1}{3a+2b+c}+\dfrac{1}{3b+2c+a}+\dfrac{1}{3c+2a+b}\)
1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR: \(a^2+b^2+c^2+4abc< \dfrac{1}{2}\)
2: Cho -1<x,y,z<3 và x+y+z=1. CMR: \(x^2+y^2+z^2\le11\)
3: Cho x,y,z là các số \(\ge\)1 . CMR: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{3}{1+xyz}\)
4: Cho x>y và xy=1. CMR: \(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác:
a)\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b)\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c)\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
