Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đoàn Quỳnh Trang

Cho a,b,c>0 t/m a+b+c=3

CMR: \(\dfrac{1}{a^2+1}\)+\(\dfrac{1}{b^2+1}\)+\(\dfrac{1}{c^2+1}\)>=\(\dfrac{3}{2}\)

Nguyễn Xuân Tiến 24
1 tháng 8 2018 lúc 15:02

Áp dụng BĐT cauchy ngược dấu ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)

Từ đó ta có: \(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{a}{2}+1-\dfrac{b}{2}+1-\dfrac{c}{2}=\)\(=3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Phùng Khánh Linh
1 tháng 8 2018 lúc 11:07

Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta có :

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)\(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+3}\left(1\right)\)

Ta có BĐT : \(a^2+b^2+c^2\text{≥}ab+bc+ac\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\text{≥}\left(a+b+c\right)^2\)

\(a^2+b^2+c^2\text{≥}\dfrac{9}{3}=3\left(2\right)\)

Từ ( 1 ; 2 ) ⇒ đpcm .

"=" ⇔ \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Nhã Doanh
1 tháng 8 2018 lúc 11:32

Ta cần chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

Suy ra: ta có BĐT: \(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(a^2+b^2+c^2+3\ge6\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta có:

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a^2+1}.\dfrac{a^2+1}{4}}=1\)

\(\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{b^2+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{b^2+1}.\dfrac{b^2+1}{4}}=1\)

\(\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{c^2+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{c^2+1}.\dfrac{c^2+1}{4}}=1\)

Cộng vế theo vế BĐT, ta được:

\(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}+\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge1+1+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\ge3-\dfrac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3-\dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

T.Thùy Ninh
2 tháng 8 2018 lúc 9:24

Còn hai câu trả lời kia đâu rồi ạ


Các câu hỏi tương tự
Phan Thị Diệu Thúy
Xem chi tiết
王俊凯
Xem chi tiết
Phan Thị Diệu Thúy
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Đặng Nguyễn Khánh Uyên
Xem chi tiết
Phạm Đức Minh
Xem chi tiết
Vũ Phương Thảo
Xem chi tiết
T.Huyền
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết