Question

cho a,b,c là các số thực k âm thỏa mãn : a+b+c=1

tìm max của \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

Answer 1

\(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(P^2=2+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+2\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

\(\Rightarrow2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\le a+2b+c\)

Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le a+b+2c\\2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le2a+b+c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P^2\le2+4\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{6}\)

Vậy \(P_{max}=\sqrt{6}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)